Parę pomysłów dotyczących nauczania logiki

Adam Kleiner

UWAGA: Symboli logicznych nie ma w podstawie programowej, jednak zaleca ona nauczanie logicznego myślenia i matematycznych zasad rozumowania. Kwantyfikatorów też nie ma w podstawie programowej, jednak ich odpowiedniki słowne są potrzebne na przykład do zdefiniowania granicy ciągu.

1. Alternatywa
Przed alternatywą wprowadźmy alternatywę wykluczającą: albo rybki albo akwarium. Alternatywa wykluczająca jest prawdziwa gdy prawdziwe jest jedno z dwóch zdań, ale nie oba na raz. Tak zwrot „albo-albo” jest rozumiany także w języku potocznym. W matematyce alternatywa wykluczająca jest rzadko potrzebna, więc nawet nie ma dla niej powszechnie przyjętego symbolu ani zwięzłej nazwy; niegdyś stosowana nazwa „dysjunkcja” oznacza teraz funktor NAND – zobacz Wikipedia. Znacznie częściej jest potrzebna alternatywa, którą wyrażamy słowem „lub”: Jeśli w wypadku drogowym są zabici lub ranni, to obowiązuje wezwanie policji. Oczywiście jeśli są i zabici i ranni, to też obowiązuje wezwanie policji.


2. Koniunkcja
Spójnik "i" należy rozumieć jako "i równocześnie". Przykład: „do zbioru A należą wszystkie liczby całkowite dodatnie podzielne przez 2 i podzielne przez 3”. Dla ucznia naturalne jest, że należą tam liczby 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 itd., gdyż spójnik "i" jest rozumiany jak suma zbiorów. Gdy jednak odczytamy warunek jako "podzielne przez 2 i równocześnie podzielne przez 3", staje się zrozumiałe, że każdy element tego zbioru ma być podzielny zarówno przez 2 jak przez 3.

3. Implikacja
Implikacja jest prawdziwa między innymi wtedy, gdy poprzednik jest fałszywy, a następnik prawdziwy („ze zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe”). Wielu uczniom wydaje się to nienaturalne. Tymczasem staje się to naturalne, gdy przejdziemy do funkcji zdaniowych. Funkcja zdaniowa przypomina zdanie logiczne, ale zawiera jedną lub więcej zmiennych. Chcemy, żeby zawsze prawdziwa była następująca wypowiedź:

Jeżeli x>5 to x>2.

Żeby ta wypowiedź była prawdziwa np. dla x=3, musimy się zgodzić na to, że prawdziwa jest implikacja:

Jeżeli 3>5 to 3>2.

Uważam, że takie uzasadnienie można przedstawić uczniom już na etapie omawiania zdań logicznych, zapowiadając (jak powyżej), że kiedyś zaczniemy posługiwać się funkcjami zdaniowymi. Jeśli zaś nie wprowadzamy pojęcia zdania logicznego, to nie trzeba się tłumaczyć z zastosowania funkcji zdaniowej: dla ucznia wypowiedź ze zmienną jest bardzo naturalna i nie trzeba wzbudzać niepokoju związanego z taką wypowiedzią.

4. Kwantyfikatory
Źródło: „Pochodne bez granic, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne”.

Po wprowadzeniu kwantyfikatorów (choćby słownych) i przećwiczeniu z uczniami zdań z jednym kwantyfikatorem proponuję:

Interpretowanie i dowodzenie zdań z wieloma kwantyfikatorami

Rozważmy przykładową wypowiedź:

∀_a>1∀_b>a∃_c−wymierne∀_{n−całkowite dodatnie}: a<c<bⁿ    (1)
Jeśli nie zamierzamy wprowadzać symboli kwantyfikatorów, tylko zgodnie z podstawą programową ograniczamy się do ich odpowiedników słownych, napiszmy tak:
dla każdego a>1
i dla każdego b>a
istnieje c wymierne, takie że
dla każdego n całkowitego dodatniego
zachodzi a<c<bⁿ

    Proponuję następującą interpretację wypowiedzi z kwantyfikatorami:
    Zapis z kwantyfikatorami jest opisem reguł pewnej gry; przeciwników w tej grze nazwijmy A i E. Zwrot „dla każdego” (ang. „for All”), czyli symbol ∀, opisuje ruchy gracza A – ma on prawo wybrać (i ogłosić) wartość opisanej tam zmiennej, zaś słowo „istnieje” (ang. „Exists”) czyli ∃, opisuje analogiczne ruchy gracza E. Gracz E wygrywa, jeśli okaże się, że stwierdzenie po dwukropku lub po słowie „zachodzi” (tu: a<c<bⁿ) jest prawdziwe, jeśli zaś jest ono fałszywe, to wygrywa gracz A. Zwycięstwo gracza E oznacza prawdziwość całej wypowiedzi, a jego przegrana – fałszywość. Zakładamy przy tym, że gracze nie popełniają błędów: jeśli istnieje strategia zapewniająca jednemu z graczy zwycięstwo, to ten gracz ją wybierze.

    W wypowiedzi (1) gracz A ma dwa pierwsze ruchy: wybiera liczbę a, która ma być większa od 1, a następnie liczbę b, która musi być większa od a. Gracz A ujawnia wybrane liczby graczowi E. Następny ruch należy do gracza E i polega na dobraniu i ujawnieniu liczby wymiernej c. W ostatnim ruchu gracz A wybiera liczbę całkowitą dodatnią n. Skoro nie ma już więcej kwantyfikatorów, to wypowiedź po dwukropku lub słowie „zachodzi” decyduje o wyniku partii: jeśli jest ona prawdziwa, to wygrał gracz E, w przeciwnym razie wygrał gracz A.
    Jeśli uda się nam wcielić w gracza E i zaplanować strategię, która gwarantuje wygraną, to jest to dowód prawdziwości całej wypowiedzi (1). Gdyby jednak udało się znaleźć strategię dla gracza A, która to jemu zapewni wygraną, to udowodnilibyśmy, że zdanie (1) jest fałszywe. W naszym przypadku zdanie jest prawdziwe, ponieważ za c można wziąć dowolną liczbę wymierną spełniającą warunek a<c<b; podniesienie b do potęgi n poprawia tylko sytuację, ponieważ b>1 i n≥1. Gdyby jednak wybór n przez gracza A miał znaczenie, to warto zauważyć, że jest on dokonywany po wybraniu c przez gracza E.

Powoływanie się na zdanie z kwantyfikatorami

Czasami chcemy skorzystać ze zdania zawierającego kwantyfikatory, ponieważ np. już wcześniej zostało ono udowodnione albo też w rozważanej sytuacji należy ono do założeń. Wtedy mamy prawo wyciągać wnioski z tego, że istnieje strategia zwycięska dla gracza E. Wolno nam wcielić się w rolę gracza A i wybierać dogodne dla nas wartości zmiennych opisanych kwantyfikatorem „dla każdego”. Wybrawszy taką wartość (lub kilka wartości – jeśli mieliśmy kolejno kilka ruchów, jak w wypowiedzi (1)) – mamy podstawy uważać, że gracz E odpowie takim ruchem, który gwarantuje mu zwycięstwo. Mamy więc prawo w dalszym rozumowaniu posługiwać się zmienną opisaną kwantyfikatorem „istnieje”, wierząc, że ma ona wartość tak dostosowaną do naszych poprzednich ruchów, by dalsza część gry musiała się skończyć wygraną gracza E.

    Na przykład, jeśli wiemy, że wypowiedź (1) jest prawdziwa, to możemy wybrać dowolne a>1 i b>a i liczyć na to, że drugi gracz „dostarczy” nam c dobrane tak, że jakiekolwiek n wybierzemy później, to warunek a<c<bⁿ będzie spełniony.

    Jak uczeń ma to zwięźle wyrazić? Mówimy, jakie a i b wybieramy, po czym oświadczamy: „bierzemy c wynikające z (1)”.

Zaprzeczanie zdania z kwantyfikatorami

Zaprzeczenie zdania z kwantyfikatorami i funkcją zdaniową p budujemy zmieniając funkcję p na jej zaprzeczenie, i zamieniając kwantyfikatory ogólne na szczegółowe, a szczegółowe na ogólne (z zachowaniem tych samych kwantyfikacji). Jest to naturalny wniosek z interpretacji z grą: aby udowodnić, że zdanie jest fałszywe mamy się wcielić w gracza A i wskazać strategię dla niego, prowadzącą do fałszywości funkcji zdaniowej. Jeśli sformułujemy zaprzeczenie zdania, to dawne ruchy gracza A stają się ruchami gracza E i odwrotnie; aby udowodnić prawdziwość zaprzeczonego zdania mamy się wcielić w gracza E, czyli znaleźć strategię dla niego (te same ruchy!), prowadzącą do prawdziwości zaprzeczenia funkcji zdaniowej p.

Przykład.
∃_x∈R∀_y∈R: y≤x²    (2)
To zdanie jest fałszywe. Rozważmy teraz jego zaprzeczenie – zdanie

∀_x∈R∃_y∈R: y>x²    (3)
Jest ono prawdziwe. Powstało z poprzedniego przez zmianę kwantyfikatorów ogólnego na szczegółowy i szczegółowego na ogólny, oraz przez zaprzeczenie funkcji zdaniowej y≤x².

    Dowodzenie fałszywości zdania (2) polega na wcieleniu się w gracza A i opracowaniu dla niego strategii prowadzącej do fałszywości warunku y≤x². Mamy więc do x wybranego przez przeciwnika dopasować y, tak by nie było prawdą, że y≤x², czyli by prawdą było, że y>x². Dowodzenie prawdziwości zdania (3) polega na wskazaniu strategii dla gracza E, czyli znów do x wybranego przez przeciwnika mamy dobrać takie y, by było y>x².

Cały artykuł w pliku pdf ->